量子力学中的氢原子问题
氢原子的动力学对称群
氢原子的哈密顿量可以表示为$H=\frac{p^2}{2\mu}-\frac{k}{r}$。由于Comlomb势的特殊性使得体系具有超出转动对称性的动力学对称性。 1926年Pauli率先从动力学对称性的角度导出了氢原子的能级。氢原子的动力学简并代数由$\lbrace \rm{L,A} \rbrace$生成，为了保证厄密性，经典的Lapalace-Runge-Lenz矢量应改写为：$$A=\frac{1}{2}(p\times L-L\times p)-\mu k \hat{r}$$
不难验证如下对易关系：
$$
[L_i,L_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk} L_k\\
[A_i,L_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk} A_k\\
[A_i,A_j]=-\frac{2i\hbar}{\mu}H \varepsilon_{ijk} L_k\\
[A,H]=0, A\cdot L=L\cdot A=0, A^2=\frac{2H}{\mu}(L^2+\hbar^2)+k^2
$$
注意到只有在束缚态H为定值时代数才是封闭的。引入如下线性组合：
$$
K^{\pm}=\frac{1}{2}(L\pm\sqrt{-\frac{\mu}{2E}}A)
$$
并且具有如下对易关系：
$$
[K^{\pm}_i,K^{\pm}_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk} K^{\pm}_k\\
[K^+,K^-]=0
$$
可以看出$K^+,K^-$各自构成一个$\rm{SU(2)}$代数，总体上构成$\rm{SU(2)}\otimes\rm{SU(2)}\sim\rm{SO(4)}$代数。
氢原子的Yangian对称性
氢原子的$\textbf{Yangian}$为 $\rm{Y(sl(2))}$，其独立生成元由$\lbrace \rm{I,J} \rbrace$生成，他们分别为：
$$
I=L,\ J=\sqrt{-\frac{\mu}{2E}} L \times A + F L
$$
$F$是Casmir算子，即$[F,L]=[F,A]=[F,H]=0$。
经过计算可得：
BCS theory
中岛变换的技巧
有相互作用的电子-声子系统的哈密顿量如下：
\begin{align}
H_0=&\sum_q \hbar\omega_q a^{\dagger}_q a_q + \sum_k \varepsilon_k c^{\dagger}_k c_k&\\
+&\sum_{q,k,\sigma}D_q c^{\dagger}_{k+q,\sigma} c_{k,\sigma} a_q+h.c.&
\end{align}
选择合适的母函数$S$，做变换$H_S=e^{-S}He^{S}$，然后利用Baker–Campbell–Hausdorff公式：