量子多体理论：超导理论
Author：$\textbf{Tom Gao}$
在研究Mott绝缘体等强关联系统时候，我们常常使用排斥势Hubbard模型，这里我们这种具有描述一般普遍的相互作用费米子系统的模型出发来构建超导系统的低能有效理论。
考虑单能带吸引势的Hubbard模型
$$
H=-t\sum_{\langle ij\rangle}(c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}+h.c.)-U\sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}
$$
在$t=0$极限下，每个格点都有偶数对电子占据着；于是定义对算符
$$
b_i=c_{i\downarrow}c_{i\uparrow}\;\;\;,\;\;\;b_i^\dagger=c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}^\dagger
$$
这正是单重配对的玻色算符，在固定粒子数下该算符产生的态都是简并的。
在排斥Hubbard模型中，有限大小的跃迁$t$将打破这种大量简并的状态。考虑一个键连接着两个格点，其中一个有一对电子占据而另一个是空的状态，这对电子可以以两种方式跳到另一个格点（看哪个先跳）；另外一种情况是其中一个跳到另一个格点后再跳回来，这也有两种方式进行。这些过程能量变化为$-2t^2/U=-2J$。那么在这种玻色化模型中两格点系统的有效哈密顿量为
$$
H_2=-(U+2J)(b_1^\dagger b_1+b_2^\dagger b_2)-2J(b_i^\dagger b_2+b_2^\dagger b_1)\;\;\;,\;\;\;b_1^2=b_2^2=0
$$
扩展到整个晶格系统就是
$$
H=-(U+2DJ)\sum_i b_i^\dagger b_i-2J\sum_{\langle ij\rangle}(b_i^\dagger b_j+h.c.)\;\;\;,\;\;\;b_i^2=0
$$
在$D$维空间晶格中连接一个格点有$D$根键，因此计入$D$个$2J$能量贡献。
对于超导相变，系统内发生了BEC相变，使得普通固体格点系统中各个成对的电子对玻色子形成相干态凝聚起来。在普通超导体中，$U$要远小于$t$，然而无论多么小，吸引势却总使得电子系统Fermi面不稳定从而导致在基地温度下能相变成超导态；这最早由BCS理论描述。
具体到真实的超导系统的情况中，形成负Hubbard能的最简单的机制是通过电子-声子相互作用产生的产生吸引作用是二级散射过程，也就是所谓Fröhlich相互作用。电子-声子耦合哈密顿量为
$$
H_\text{el-ph}=g\int d^3r\;\nabla\cdot\boldsymbol{u}(\boldsymbol{r})\rho(\boldsymbol{r})=g\sum_{\boldsymbol{q},s=\perp,\parallel}\frac{i\boldsymbol{e}_s\cdot\boldsymbol{q}}{(2m\omega_q)^{1/2}}(\phi_{\boldsymbol{q}s}+\bar{\phi}_{-\boldsymbol{q}s})\rho_\boldsymbol{q}
$$
其中 $\rho(\boldsymbol{r})=\bar{\psi}(\boldsymbol{r})\psi(\boldsymbol{r})$，$\rho_\boldsymbol{q}=\sum_{\boldsymbol{k}}\bar{\psi}_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{q}}\psi_\boldsymbol{k}$。于是在动量-频率空间里面作用量可写为
\begin{align}
S&=S_\text{el}+S_\text{ph}+S_\text{el-ph}\\\\\\\\
S_\text{ph}&=\sum_{\boldsymbol{q},s}\bar{\phi}_{\boldsymbol{q}s}(-i\omega_n+\omega_q)\phi_{\boldsymbol{q}s}\\\\\\\\
S_\text{el-ph}&=ig\sum_{\boldsymbol{q},s}\frac{\boldsymbol{e}_s\cdot\boldsymbol{q}}{(2m\omega_q)^{1/2}}(\phi_{\boldsymbol{q}s}+\bar{\phi}_{-\boldsymbol{q}s})\rho_\boldsymbol{q}
\end{align}
积掉声子部分的玻色场：
\begin{align}
S_\text{eff}&=(ig)^2\sum_{\boldsymbol{q},s}\frac{(\boldsymbol{e}_s\cdot\boldsymbol{q})^2}{2m\omega_q}\rho_\boldsymbol{q}(-i\omega_n+\omega_q)^{-1}\rho_{-\boldsymbol{q}}\\\\\\\\
&=-g^2\sum_{\boldsymbol{q}}\frac{q^2}{2m\omega_q}\frac{i\omega_n+\omega_q}{\omega_n^2+\omega_q^2}\rho_\boldsymbol{q}\rho_{-\boldsymbol{q}}\\\\\\\\
&=-\frac{g^2}{2m}\sum_{\boldsymbol{q}}\frac{q^2}{\omega_n^2+\omega_q^2}\rho_\boldsymbol{q}\rho_{-\boldsymbol{q}}\xrightarrow{i\omega_n\to\omega+i0^+}\frac{g^2}{2m}\sum_{\boldsymbol{q}}\frac{q^2}{\omega^2-\omega_q^2}\rho_\boldsymbol{q}\rho_{-\boldsymbol{q}}
\end{align}
这和Fröhlich通过二级微扰计算（或者Nakajima的正则变换方法）的结果是一样的
\begin{align}
H_I&=-\sum_{\boldsymbol{k},\boldsymbol{q}}U_{\boldsymbol{k}\boldsymbol{q}}c_{\boldsymbol{k}+\boldsymbol{q}}^\dagger c_{-\boldsymbol{k}-\boldsymbol{q}}^\dagger c_{-\boldsymbol{k}}c_\boldsymbol{k}\\\\\\\\
U_{\boldsymbol{k}\boldsymbol{q}}&=\frac{2|D_q|^2\hbar\omega_q}{(\varepsilon_{k}-\varepsilon_{k+q})^2-(\hbar\omega_q)^2}
\end{align}
在Fermi面附近能区$|\varepsilon_{k}-\varepsilon_{k+q}|<\hbar\omega_q\approx\hbar\omega_D$内有效势表现为吸引，因此这部分电子才会形成Cooper对。
接下来继续将Hubbard模型的配分函数用虚时形式路径积分来表述
\begin{align}
Z&=\int\mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi\;e^{S}\;\;\;,\;\;\;S=S_0+S_I\\\\\\\\
S_0&=\int d\tau\sum_{i\sigma}\bar{\psi}_{i\sigma}(\mu-\partial_\tau)\psi_{i\sigma}-\int d\tau\Big[-t\sum_{\langle ij\rangle\;\sigma}(\bar{\psi}_{i\sigma}\psi_{j\sigma}+h.c.)\Big]\\\\\\\\
S_I&=\int d\tau\;U\sum_i\bar{\psi}_{i\uparrow}\bar{\psi}_{i\downarrow}\psi_{i\downarrow}\psi_{i\uparrow}
\end{align}
虚时形式下的费米子场满足周期性条件
$\bar{\psi}(\tau+\beta)=-\bar{\psi}(\tau)\;\;\;,\;\;\;\psi(\tau+\beta)=-\psi(\beta)$，费米子场的Matsubara频率为 $\omega_n=(2n+1)\pi/\beta$ 。
为了得到平均场的有效哈密顿量，常采用鞍点近似。作Hubbard-Stratonovich变换将四次场量项分解掉：
\begin{align}
S_I \to - \int d \tau \sum_i \frac{1}{U} \Delta_i^*\Delta_i - \int d \tau \sum_i \Delta_i^* \psi_{i\downarrow} \psi_{i\uparrow} + h.c.
\end{align}
\begin{align}
e^{S_I}=\int\mathcal{D}\Delta_i^*\mathcal{D}\Delta_i\exp\Bigg[-\int d\tau\sum_i\frac{1}{U}\Delta_i^*\Delta_i-\int d\tau\sum_i(\Delta_i^*\psi_{i\downarrow}\psi_{i\uparrow}+h.c.)\Bigg]
\end{align}
其中$\Delta^*$和$\Delta$为涨落玻色场，用Gauss积分可将其积掉。在鞍点有$\Delta_i(\tau)=\Delta$平均值，是某个复数。一旦$\Delta$取为鞍点固定值了（复数的相位固定下来了），原本作用量的整体$U(1)$对称性就会破缺。因此超导是破坏规范对称性的。
在时空平移对称性下，鞍点处的有效作用量可写为
$$
S=\sum_k\bar{\Psi}_k(i\omega_n\tau_0-\varepsilon_{\mathbf{k}}\tau_3-\Delta\tau_1)\Psi_k-\frac{N\beta\Delta^2}{U}
$$
$\bar\Psi_k=(\bar{\psi}_{k\uparrow},\psi_{-k\downarrow})$为Nambu旋量，四动量 $k=(\mathbf{k},i\omega_n)$，$\mathbf{\tau}=(\tau_0,\tau_1,\tau_2,\tau_3)$是$2\times 2 $ Pauli矩阵向量，单粒子能谱为$\varepsilon_{\mathbf{k}}=-2t\sum_{n=1}D\cos k_n-\mu$。Nambu真空定义为 $|\text{Vacuum}\rangle=\prod_i c_{i\downarrow}^\dagger|0\rangle=\prod_{\mathbf{k}}c_{\mathbf{k}\downarrow}^\dagger|0\rangle$
$$$$
系统的自由能为
$$
F=-T\ln Z=\frac{N\Delta^2}{U}-T\sum_k\text{Tr}\ln G_k^{-1}
\;\;\;,\;\;\;
G_k^{-1}=i\omega_n\tau_0-\varepsilon_{\mathbf{k}}\tau_3-\Delta\tau_1
$$
合适的序参量使得自由能取最小值
$$
\frac{\partial F}{\partial\Delta}=\frac{2N\Delta}{U}+T\sum_k\text{Tr}\;G_k\tau_1=0
$$
解得（其中作Matsubara频率求和）
$$
\frac{1}{U}=\frac{1}{N}T\sum_k\frac{1}{\omega_n^2+\varepsilon_{\mathbf{k}}^2+\Delta^2}=\frac{1}{N}\sum_\mathbf{k}\frac{\tanh\frac{\beta\sqrt{\varepsilon_{\mathbf{k}}^2+\Delta^2}}{2}}{2\sqrt{\varepsilon_{\mathbf{k}}^2+\Delta^2}}\sim N_0\int d\varepsilon\frac{\tanh\frac{\beta\sqrt{\varepsilon^2+\Delta^2}}{2}}{2\sqrt{\varepsilon^2+\Delta^2}}
$$
$N_0$是Fermi能附近的态密度。在临界温度时，$\Delta\to 0$，以上方程解得
$$
\frac{1}{\lambda}\sim\ln\frac{\omega_c}{T_c}\Rightarrow T_c=\omega_c\exp\Big(-\frac{1}{\lambda}\Big)
$$
$\lambda=N_0U$是无量纲耦合长度，$\omega_c$是吸引势的有效截断。在$0K$时候能隙$\Delta_0$为
$$
\frac{1}{\lambda}\sim\ln\frac{e^{\gamma}\omega_c}{\Delta_0}\Rightarrow \Delta_0=e^{\gamma}\omega_c\exp\Big(-\frac{1}{\lambda}\Big)
$$
$e^\gamma\approx 1.75$为Euler常数。通常截断$\omega_c$是由Debye温度给出，因为$U$是由电子-声子作用（它本身与Debye频率$\omega_D$无关）。BCS理论预言了两个重要结果：
（1）$T_c$随着$\omega_D$线性增大。
（2）$\omega_D\sim 1/\sqrt{M}$，$M$是晶格原子质量。
BCS理论预言了同位素比率$d\ln T_c/d\ln M=-1/2$，发现$2\Delta_0/T_c\sim 3.5$是s波超导的普适比率。
在BCS基态（或鞍点）之上有两种激发，一个是序参量$\Delta$的涨落，有两个分量。一种是纵向的振幅涨落，具有能隙，在零温情形下这种激发并不重要。另一种是横向相位涨落，在中性玻色子系统中是无能隙的，在超导系统中其能量大小被从零能处拉开到等离激元频率，它造成长波涨落；相位涨落产生涡旋以及反涡旋激发。这种涨落在一维体系中将破坏超导序，在二维体系中形成KT相变，在更高维空间中则无关联了。
另一种激发是准电子激发，通过Green函数$G_k$来描述。有效哈密顿量为
$$
H=\sum_{\mathbf{k}}\Psi_{\mathbf{k}}^\dagger(\varepsilon_{\mathbf{k}}\tau_3+\Delta\;\tau_1)\Psi_{\mathbf{k}}
$$
经过BZ空间到Bloch球面（靶空间）的映射，上面的BdG哈密顿量变为Nambu赝自旋哈密顿量
\begin{align}
H_\mathbf{k}&=h_\mathbf{k}\cdot\tau\;\;\;,\;\;\;\mathbf{\tau}=(\tau_1,\tau_2,\tau_3)\\\\\\\\
h_\mathbf{k}&=(\Delta,0,\varepsilon_\mathbf{k})
\;\;\;\;,\;\;\;
E_{\mathbf{k}}=\sqrt{\varepsilon_{\mathbf{k}}^2+\Delta^2}
\end{align}
在靶空间中，可通过一定幺正变换使得赝自旋转到一个轴向上，此即为Bogouliubov变换
$$
\alpha_\mathbf{k\uparrow}^\dagger=u_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger+v_\mathbf{k}c_{-\mathbf{k}\downarrow}
\;\;\;,\;\;\;
\alpha_{\mathbf{k}\downarrow}=-v_{\mathbf{k}}c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger+u_{\mathbf{k}}c_{-\mathbf{k}\downarrow}
$$
$$
u_{\mathbf{k}}^2=\frac{1}{2}\big(1-\frac{\varepsilon_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\big)
\;\;\;,\;\;\;
v_{\mathbf{k}}^2=\frac{1}{2}\big(1+\frac{\varepsilon_\mathbf{k}}{E_\mathbf{k}}\big)
$$
写成矩阵形式为
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
\alpha_{\mathbf{k}\uparrow}\\
\alpha_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger\\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
u_{\mathbf{k}} & v_{\mathbf{k}} \\
-v_{\mathbf{k}} & u_{\mathbf{k}} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
c_{\mathbf{k}\uparrow}\\
c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger\\
\end{array}
\right)
\end{equation}
在Bogouliubov准粒子表象下对角化为
\begin{align}
H&=\sum_{\mathbf{k}}E_{\mathbf{k}}(\alpha_\mathbf{k\uparrow}^\dagger\alpha_\mathbf{k\uparrow}-\alpha_{-\mathbf{k}\downarrow}\alpha_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger)\\\\\\\\
&=\sum_{\mathbf{k}\sigma}E_\mathbf{k}\alpha_{\mathbf{k}\sigma}^\dagger\alpha_{\mathbf{k}\sigma}+E_g
\;\;\;,\;
E_g=-\sum_\mathbf{k}E_\mathbf{k}
\end{align}
BCS基态定义为准粒子真空态
$$
|\text{BCS}\rangle=\prod_\mathbf{k}\alpha_{\mathbf{k}}^\dagger|\text{Vacuum}\rangle=\prod_{\mathbf{k}}(u_\mathbf{k}+v_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger)|0\rangle\sim
\exp\Bigg(\sum_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger\Bigg)
,\tan\theta_\mathbf{k}=\frac{u_\mathbf{k}}{v_\mathbf{k}}
$$
这正是Cooper对形成的相干态（BEC）,可以发现电子对组成的玻色化算符即为$b^\dagger=\sum_\mathbf{k}\theta_\mathbf{k}c_{-\mathbf{k}\downarrow}^\dagger c_{\mathbf{k}\uparrow}^\dagger$，Copper对准粒子的粒子数算符为$\hat{N}=-id/d\theta$，因此系统的粒子数和总超导相位有不确定关系$\Delta N\Delta\theta\gtrsim 1$ 并且宇称是恒定的。
在序参量$\Delta=U\sum_\mathbf{k}\langle c_{-\mathbf{k}\downarrow} c_{\mathbf{k}\uparrow}\rangle\to 0$极限下$|\text{BCS}\rangle$变回填满的稳定Fermi面。